Неклассическая алгебраическая геометрия

Семинар Михаила Бондарко

Класическая алгебраическая геометрия рассматривала, в основном, многообразия над полем комплексных чисел (и над другими полями нулевой характеристики). Одно из центральных ее достижений — теорема о разрешении особенностей Хиронаки (при помощи раздутий). К сожалению, за прошедшие с момента ее доказательства 50 лет доказать аналогичный результат для поля положительной характеристики не удалось. Однако, де Йонг придумал и доказал несколько более слабый, но вполне достаточный для многих приложений аналог этой гипотезы. Его результат был улучшен замечательным алгебраическим геометром О. Габбером. Он же доказал ряд других важных утверждений «неклассической», то есть, «схемной» алгебраической геометрии (улучшающих результаты Гротендика и его соавторов, создавших это направление в третьей четверти XX века).

Наш семинар будет посвящен различным результатам де Йонга и Габбера, в том числе — описанным в этой книге.

2014

• 2 декабря. Александр Лузгарев, Функции размерности для схем.
• 25 ноября. Мария Якерсон, Альтерации де Йонга.
• 18 ноября. Николай Уманец, Категорное разрешение особенностей (по Кузнецову и Лунцу).
• 11 ноября. Николай Уманец, Триангулированные категории особенностей, категорные разрешения и K-теория сингулярных схем.
• 28 октября. Дмитрий Звонкин, О формуле ELSV.
• 21 октября. Владимир Соснило, ldh-топология и ее свойства.
• 14 октября. Владимир Соснило, Применения теоремы де Йонга. Сингулярные когомологии абстрактного алгебраического многообразия.
• 7 октября. Константин Чепуркин, Гиперповерхности наилучшего контакта.
• 30 сентября. Константин Чепуркин, Разрешение особенностей в характеристике 0: план доказательства основной теоремы.
• 23 сентября. Константин Чепуркин, Разрешение особенностей. Основные определения и примеры.
• 16 сентября. Михаил Бондарко, Когомологии гензелизаций (по статье O. Gabber, Affine analog of the proper base change theorem).

Литература

• Классическое разрешение особенностей
  • «Популярное» изложение теоремы Хиронаки: Herwig Hauser, The Hironaka Theorem on Resolution of Singularities (pdf).
  • Достаточно приличные на вид, но менее популярные лекции по т. Хиронаки: János Kollár, Resolution of Singularities — Seattle Lecture (pdf).
  • Якобы, «элементарное» доказательство т. Хиронаки, которое работает и для каких-то схожих задач. Всего 96 страниц! Edward Bierstone, Pierre D. Milman, Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant (pdf).
  • Немаленькая книжка по разрешению особенностей и программе минимальных моделей (во многом - в размерности 3): János Kollár, Shigefumi Mori, Birational geometry of algebraic varieties (djvu).
• Альтерации и близкие вопросы
  • Базовая статья де Йонга: A. Johan de Jong, Smoothness, semi-stability and alterations (pdf).
  • Улучшения де Йонга им же: A. Johan de Jong, Families of curves and alterations (pdf).
  • Обзор де Йонга: Frans Oort, Alterations can remove singularities (pdf).
  • Основная книга (по Габберу): Luc Illusie, Yves Laszlo et Fabrice Orgogozo, Travaux de Gabber sur l'uniformisation locale et la cohomologie étale des schémas quasi-excellents (pdf).
  • Другая тема: о том, какие морфизмы аффинных схем являются пределами гладких: Mark Spivakovsky, A new proof of D. Popescu's theorem on smoothing of ring homomorphisms (pdf).
• Связь с мотивами
  • Статья о том, как с помощью альтерация некоторые мотивные результаты обобщаются на произвольную характеристику: Thomas Geisser, Applications of de Jong's theorem on alterations (pdf).
  • Целая диссертация о том, как работать с мотивами в положительной характеристике при помощи результатов Габбера (о том, как заменять cdh топологию ldh): Shane Kelly, Triangulated categories of motives in positive characteristic (pdf)
  • Статья по относительным этальным мотивам; в первом параграфе много вариаций на тему Габбера: Denis-Charles Cisinski and Frédéric Déglise, Étale motives (pdf)
  • Тупое применение Габбера + весовые структуры не сильно по делу: Mikhail Bondarko, Z[1/p]-motivic resolution of singularities, and applications (pdf)